泰勒公式，就是把一个函数展开成N项和，并且可以用通项公式描述。
泰勒公式的作用很多，比如可以把无穷级数进行展开，或者求和。
所谓余项（具体来说是n阶余项）就是f(x)-g(x), 记为R(x)。所谓Peano余项实际上是指出了R(x)的性质：x->x0时，R(x)/(x-x0)^n->0。
由小o的定义，上面这个式子可以换种表达方式，写成R(x)=o((x-x0)^n), x->x0，将此式代入f(x)=g(x)+R(x)，就得到了书上给的“带Peano余项的Taylor公式”。
n阶导不为0且前n-1阶导都为0时,f(x)是O(x^n),不是o(x^n)
前n阶导等于零时,f(x)是o(x^n)
这里说的n阶无穷小是指的O(x^n)。
扩展资料：
泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：
1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。
3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。
4、证明不等式。
5、求待定式的极限。
参考资料来源：百度百科-泰勒公式
