楼主你好~
先为你解决第一个问题：
1.持て余す：这是一个词，意思为难于处理、棘手、发慌的意思。
2.ずに済む这是一个语法，前面接动词的未然形（词尾变成あ段发音），意思是“不用做什么就可以”，一般说的是不用受苦、不用做不愿意的事情就能度过难关了。比如说：死なずに済む（就死不了了）、烦わずにすむ（不用费神了、不用劳神了）
3.持て余す＋ずに済む=持て余さずに済む。这句可以翻译成就不会难以对付、难以处理了，其中包含着（不用处理就可以安然无恙的度过了，就可以轻松混过去了）的意思。所以加上前面臆病な自分（胆怯的自己），就可以翻译成：没有必要因为觉得自己胆怯懦弱而不安、慌张。“这样我就不必为了我的懦弱负责”这个翻译有些意译，感觉对不上语法，所以楼主才会有些不明白吧。其实按字面上的翻译，这句话也是说的通的，就是有点罗嗦。
解决楼主的第二个问题：お手を烦わさなくてもすみそうです（这句话有点错误，お手を烦わ后面应该没有那个さ，也就是：お手を烦わなくてもすみそうです）
这个句子中，包含了一个典型的语法なくても済む，这个和上面那个ずに済む其实意思是一样的，前面都接都动词的否定，表示不用做什么就能过去的意思，只不过なくても済む偏向于口语，ずに済む是古典日语文法在现代日语中的残留，是生涩的书面语。お手を烦わさなくてもすむ
这个句子简单的可以翻译成：不用劳烦你这件事就能解决了，或者是不用劳烦你我自己就可以解决了，加上句尾的推量助动词そうです的话，前面的动词要用连用型，所以すむ变成すみ。就变成了：看来用不上劳烦您费心了。
済む作为一个词的时候，意思和上面两个语法不同，是“解决”的意思，而字典中其他诸如“良心上过不去、过得去”等意思，都要靠上面的两个语法表达，这一点楼主应该注意。
以上仅供参考~希望能帮到楼主！
