1）自由陀螺仪(free gyroscope)定义:陀螺仪从广义讲就是一种能绕定点高速旋转的对称刚体。实用陀螺仪是高速旋转的对称刚体及其悬挂装置的总称。按其悬挂装置不同分为单自由度陀螺仪(single-degree of freedom gyro.)、二自由度陀螺仪(two-degree of freedom gyro.)和三自由度陀螺仪(three-degree of freedom gyro.)。平衡陀螺仪(balanced gyroscope)：若陀螺仪的重心（G）与中心（O）重合。自由陀螺仪：重心（G）与中心（O）重合，不受任何外力矩作用的三自由度平衡陀螺仪。
2）自由陀螺仪的结构:由转子(gyro wheel)、转子轴(spin axis)（主轴）、内环(horizontal ring)、内环轴(horizontal axis)（水平轴）、外环(vertical ring)、外环轴(vertical axis)（垂直轴）、基座组成的。
转子的转动角速度W的方向称为陀螺仪主轴的正端（正端指：当垂直看着陀螺转动面时，陀螺看起来是逆时针旋转时，这时指向眼睛的陀螺轴的那一端是正端）。自由陀螺仪结构特点：有三个自由度，即主轴、水平轴和垂直轴；整个陀螺仪的重心与中心重合。陀螺坐标系：右手坐标系，以自由陀螺仪中心（O）为坐标原点o；陀螺仪主轴方向为纵坐标ox；水平轴为横坐标oy；垂直轴为垂直坐标oz。
3）自由陀螺仪的特性（1） 定轴性(gyroscopic intertia)定轴性：高速旋转的自由陀螺仪，当不受外力矩作用时，其主轴将保持它在空间的初始方向不变。定轴性条件：陀螺转子高速旋转；陀螺仪不受外力矩作用。定轴性表现特征：主轴指向空间初始方向不变。（2）进动性(gyroscopic precession)进动性：高速旋转的自由陀螺仪，当受外力矩(moment)(用M表示)作用时，其主轴的动量矩(momentum moment)矢端（用H表示）将以捷径趋向外力矩M矢端作进动运动，记作 H → M。进动性的条件：自由陀螺仪转子高速旋转和受外力矩作用；进动性表现特征：主轴相对空间初始方向产生进动运动。
自由陀螺仪进动特性口诀：
陀螺仪表定向好，
进动特性最重要，
要问进动何处去？
H向着M跑。
自由陀螺仪主轴进动角速度（的快慢，wp） 与外力矩M成正比，与动量矩H成反比。
wp =MH
右手定则：伸开右手，掌心对着主轴正端，四指并拢指向加力方向，拇指与四指垂直，则拇指的方向就是主轴正端进动的方向。 1）表观运动现象:自由陀螺仪主轴具有指向空间初始方向不变的定轴性，若使自由陀螺仪主轴开始时指向太阳，它将始终指向太阳，我们将自由陀螺仪主轴的这种运动称为自由陀螺仪的视运动。自由陀螺仪的视运动是其主轴相对地球子午面和水平面的运动。
使自由陀螺仪产生视运动的原因是地球自转。
2）自由陀螺仪的视运动规律:地球自转的角速度用we表示，分解为沿水平方向的分量w1和沿垂直方向的分量w2：
w1=we·cosj
w2=we·sinj
将自由陀螺仪主轴与子午面的夹角称为主轴的方位角(azimuth)（用a表示），主轴与水平面之间的夹角称为主轴的高度角(elevating annealing)（用q表示）。自由陀螺仪主轴相对子午面北纬东偏，南纬西偏；自由陀螺仪主轴相对水平面东升西降，全球一样。
自由陀螺仪主轴相对子午面的视运动速度：
V2= H·wesinj (V2的大小随j变化)
自由陀螺仪主轴相对水平面的运动视速度：
V1= H·a·wecosj （V1的大小除了随j变化外，还随主轴的方位角a变化） 1）自由陀螺仪主轴不能指北的原因地球自转角速度的垂直分量w2使自由陀螺仪主轴相对子午面的视运动。
2）变自由陀螺仪为陀螺罗经的方法:控制力矩(controlling moment)（用My表示）：为了克服由于地球自转角速度的垂直分量w2使自由陀螺仪主轴相对子午面的视运动，向陀螺仪施加的外力矩；控制力矩必须作用于陀螺仪的水平轴。
3）陀螺罗经获得控制力矩的方式按力矩的产生原理不同：直接产生法和间接产生法；按力矩的性质不同：重力控制力矩和电磁控制力矩；按力矩的产生方式不同：三大系列罗经的三种主要方式。
（1）安许茨系列罗经获得控制力矩的方式:将陀螺球重心下移的直接控制法获得控制力矩。
控制设备(controlling device)：陀螺罗经产生控制力矩的设备（器件）。
陀螺球(gyrosphere)：安许茨系列罗经是将双转子陀螺仪固定和密封在金属球内。
陀螺球具有主轴（ox轴）、水平轴（oy轴）和垂直轴（oz轴）。 陀螺球的重心G不在其中心O，而是沿垂直轴下移几毫米。
t = t1时，陀螺球位于A1处，此时主轴水平指东，q = 0，重力mg作用线通过陀螺仪中心O，重力mg不产生力矩（虽有力但力臂为零）。t = t2时，随着地球自转，当，陀螺球位于A2处，此时主轴上升了一个q角（ q ≠ 0），重力mg作用线不通过陀螺球中心O（有力臂a），重力mg的分力mgsinq 产生沿水平轴oy向的重力控制力矩My：
My = mgsinq ·a
≈ mg a ·q
= M·q
M = mga 最大控制力矩.控制力矩的大小与罗经结构参数和主轴高度角q 有关.控制力矩My使主轴产生进动速度u2，它使主轴正端自动找北（向子午面进动）。
根据赖柴尔定理：动量矩H矢端的线速度矢量u与外力矩矢量M大小相等方向相同：
u = M
陀螺罗经控制力矩My使罗经主轴产生的进动速度：
u2= My = M·q
安许茨系列罗经称为下重式陀螺罗经，控制力矩为重力力矩，属于机械摆式罗经。
（2）斯伯利系列罗经获得控制力矩的方式:在陀螺仪主轴两端，加装液体连通器(liquid communicating vessel)的直接控制法获得控制力矩。
控制力矩的产生的方式：液体连通器：斯伯利系列罗经产生控制力矩的设备是在陀螺仪主轴两端加装液体容器，内充一定液体，液体可在两个容器之间流动。当陀螺仪工作，t = t1时，陀螺仪位于 A1处，此时主轴水平指东，q = 0，两个容器中的液体数量相等，液体重力mg作用线通过陀螺仪中心O，重力mg不产生力矩。随着地球自转，当t = t2 时，陀螺仪位于A2处，此时主轴上升了一个q角（ q ≠0），低端容器中液体比高端容器中液体多，多余液体的重力mg作用线不通过陀螺仪中心O，力臂不为零，mg的分力mgsinq 产生沿水平轴oy 向的重力控制力矩My：
My = 2R2Srgsinq
≈2R2Srg ·q
= M·q
M = 2RSrg为最大控制力矩。
液体连通器产生的控制力矩的大小与罗经结构参数和陀螺仪主轴高度角q有关。控制力矩My沿oy轴的方向将随q角的方向而定，使主轴进动的速度用 u2表示，
它使陀螺仪主轴负端自动找北（向子午面进动）：
u2 = My= M·q
斯伯利系列罗经，为液体连通器罗经，重力力矩，机械摆式罗经。
（3）阿玛-勃朗系列罗经获得控制力矩的方式:采用电磁摆(electromagnetic pendulum)和水平力矩 (horizontal momentat device)的间接控制法获得控制力矩。
控制力矩的产生方式：阿玛-勃朗系列罗经的控制设备由电磁摆和位于陀螺球水平轴上的力矩器组成。
当陀螺球工作，t = t1时，若设陀螺球主轴水平指东，q = 0，电磁摆不输出摆信号，陀螺球水平轴的力矩器不工作，不向陀螺球施加控制力矩。随着地球自转，当t = t2时，陀螺球主轴上升了一个角度（q ≠0），电磁摆输出摆信号，经水平放大器放大后，送给陀螺球水平轴上的力矩器，力矩器工作，向陀螺球水平轴施加电磁控制力矩My：
My= Ky ·q
Ky,罗经电控系数，由罗经结构参数决定，如摆信号放大倍数，力矩器的参数等。控制力矩的大小，与罗经的结构参数和陀螺球主轴的高度角q有关。罗经的结构参数可以改变，这是此种罗经的一大优点。
控制力矩My 沿oy轴的方向将随q的方向而定，它使陀螺球主轴正端自动找北（向子午面进动），主轴进动的速度：
u2 = My
= Ky·q
阿玛-勃朗系列罗经是通过电磁摆和力矩器获得的电磁控制力矩，电控罗经。
4）陀螺罗经主轴的等幅摆动
通过对自由陀螺仪施加控制力矩制成的陀螺罗经，罗经主轴只具有自动找北的能力而不能稳定指北，其自动找北的运动轨迹是呈扁平的椭圆轨迹。 这一椭圆运动轨迹的中心位于子午面内，椭圆的两长半轴相等，两短半轴也相等，因此椭圆运动轨迹是等幅椭圆。罗经主轴作等幅椭圆运动（自由摆动）一周所需要的时间，称为陀螺罗经的自由摆动周期(period of free-oscillation)T0。
自由摆动周期T0的大小：
T0 =2πHMwecosj
式中ωe cosj为地球自转角速度ωe的水平分量。
陀螺罗经的自由摆动周期与罗经的结构参数（H、M）和纬度有关。
T0等于84.4min时，称为陀螺罗经的理想自由摆动周期，这时若船舶机动航行，船上的陀螺罗经将不产生第一类冲击误差。
理想自由摆动周期所对应的纬度称为陀螺罗经的设计纬度(chosen latitude)（j0），设计纬度是设计罗经时所选取的一特殊纬度。例如安许茨4型罗经的设计纬度为60°。 1）使陀螺罗经稳定指北的措施
阻尼力矩(damping moment)：为了使陀螺罗经稳定指北而对陀螺仪施加的力矩。阻尼设备(damper))（阻尼器）：陀螺罗经产生阻尼力矩的设备（器件）阻尼方式(damping mode)：陀螺罗经将阻尼力矩施加在陀螺仪（球）的哪一轴上陀螺罗经的阻尼方式：水平轴阻尼方式(damping mode of horizotal axis)和垂直轴阻尼方式(damping dode of vertical axis)。
2）陀螺罗经获得阻尼力矩的方法
按产生阻尼力矩的原理不同，分为直接阻尼法和间接阻尼法；按阻尼力矩的性质不同，分为重力阻尼力矩和电磁阻尼力矩；按三大系列罗经使用的阻尼设备不同，分为以下三种方式：
（1）安许茨系列罗经获得阻尼力矩的方式
采用液体阻尼器(liquid damping vessel)的直接阻尼法产生阻尼力矩的。阻尼力矩的产生方式：
液体阻尼器由固定在陀螺球主轴两端的两个相互连通的液体容器组成，内充一定数量的高粘度硅油。连通两个容器的导管很细，使容器内液体流动滞后于主轴俯仰约四分之一个自由摆动周期（T04 ）。当罗经主轴自动找北时，主轴的俯仰使两个容器中的液体数量不相等，多余液体的重力在陀螺球水平轴产生阻尼力矩，属于水平轴阻尼方式。阻尼力矩的大小用下式表示：
MyD = C·c
式中C称为最大阻尼力矩，由罗经结构参数决定。c 称为多余液体角，阻尼力矩的最大效应导前于控制力矩的最大效应90°，也就是说阻尼力矩使罗经主轴始终向子午面方向进动，进动速度用u3表示：
u3 = MyD
= C·c
在阻尼力矩的作用下，罗经主轴的方位角a和高度角q不断减小，最终使方位角a为零，罗经主轴稳定指北。这种采用液体阻尼器获得阻尼力矩的罗经又称为液体阻尼器罗经。
（2）斯伯利系列罗经获得阻尼力矩的方式
采用在陀螺球（仪）正西侧安放阻尼重物(damping weight)的直接阻尼法产生阻尼力矩。
阻尼力矩的产生方式： 当罗经主轴自动找北时，主轴具有高度角q，阻尼重物的重力mg在陀螺球垂直轴产生重力阻尼力矩MZD，属于垂直轴阻尼方式。阻尼力矩MZD的大小由下式表示：
MZD = MD·q
MZD，最大阻尼力矩，由罗经结构参数决定。
阻尼重物产生的阻尼力矩使罗经主轴向水平面方向进动，进动速度用u3表示， 使主轴的高度角q不断减小，由于主轴的运动是连续运动，因此在主轴高度角q不断减小的同时，主轴的方位角a也随之减小，最终使主轴偏离子午面一个很小的方位角a稳定指北，u3的大小可由下式表示：
u3= MzD
= MD·q
这种由阻尼重物获得阻尼力矩的罗经又称为重物阻尼罗经。
（3）阿玛-勃朗系列罗经获得阻尼力矩的方式
采用电磁摆(electromagnetic pendulum)和垂直力矩器(vertical momental device)的间接阻尼法产生阻尼力矩。
阻尼力矩的产生方式：阻尼设备由电磁摆和位于陀螺球垂直轴上的垂直力矩器组成。当罗经主轴自动找北时，主轴有高度角q，电磁摆输出摆信号，一部分摆信号经垂直放大器放大后，送到垂直力矩器，垂直力矩器工作，向陀螺球垂直轴施加电磁阻尼力矩MZD，属于垂直轴阻尼方式。阻尼力矩MZD大小：
MZD = KZ·q
式中KZ称为阻尼力矩系数，由罗经结构参数决定电磁摆和垂直力矩器产生的阻尼力矩，使罗经主轴向水平面进动，阻尼力矩使主轴进动的速度用u3表示，在使主轴高度角q减小的同时也按比例减了主轴的方位角a，最终使主轴偏离子午面一个很小的方位角a稳定指北，u3的大小：
u3 = MZD
= KZ·q
3）陀螺罗经的启动过程
陀螺罗经在控制力矩作用下能够自动找北，在此基础上，在阻尼力矩作用下，经过一定的时间就能够稳定指北。陀螺罗经的适用纬度一般为80°以下，否则罗经指向精度降低或不能正常指向。
（1）阻尼曲线
启动时间：陀螺罗经主轴在控制力矩和阻尼力矩的作用下，由指示任意方向到稳定指北所需要的时间。
阻尼运动：启动时间内，陀螺罗经主轴的运动，轨迹是一种逆时针收敛螺旋线。
阻尼曲线(damping curve)：启动罗经时，由于船舶航向固定不动，记录器记录的航迹线就是罗经主轴的阻尼运动轨迹。
（2）阻尼周期（damping period ，TD）
陀螺罗经主轴作阻尼运动一周所需要的时间：
TD=4pH4HMwecosj-C2 陀螺罗经的阻尼周期的大小与罗经结构参数H、M（Ky）、C（MD或Kz）和纬度有关；
阻尼周期的大小是决定陀螺罗经启动时间的因素之一。
（3）阻尼因数（damping factor， ƒ）
陀螺罗经主轴作阻尼运动时，主轴偏离子午面以东（或以西）的方位角a最大值与相继偏离子午面以西（或以东）的方位角最大值之比：
ƒ=a1a2 =a2a3 =……=anan+1
陀螺罗经阻尼因数ƒ的大小由罗经结构参数决定，结构参数一定，其阻尼因数为定值。各种陀螺罗经的阻尼因数ƒ可能不同，一般为2.5~4。阻尼因数ƒ也是决定陀螺罗经启动时间的因素之一。
（4）启动时间
启动陀螺罗经所需要的时间除了与阻尼周期TD和阻尼因数ƒ有关外，还与启动罗经时其主轴的初始方位角a0有关。
例题2-1-1：一台安许茨4型陀螺罗经，阻尼因数ƒ为3，纬度40°时的阻尼周期TD为76min，若开始时主轴的初始方位角a0为90°，启动这台罗经约需要多长时间（主轴方位角小于1°时，可认为稳定指北）。
计算：a1=a0ƒ =90°3 =30°
a2=a1ƒ =30°3 =10°
a3=a2ƒ =10°3 ≈3°.4
a4=a3ƒ =3°.43 ≈1°.2
a5=a4ƒ =1°.23 ≈0°.4
罗经主轴的方位角由90°减小到0°.4一共用了二个半阻尼周期（2.5TD），阻尼时间为76min×2.5TD=190min=3h10m。若再加上罗经开始时约80min的非周期阻尼时间，这台罗经的启动时间约为4h30m。罗经启动时间的长短只随船舶所在的纬度和主轴的初始方位角变化。陀螺罗经都采用启动时减小罗经主轴的初始方位角（和初始高度角），进行快速启动。
