首先比值判别法其实不限于正项级数(甚至可以是复数).
当|u[n+1]/u[n]|收敛于c<1,级数一定收敛.
因为此时∑|u[n]|收敛,∑u[n]绝对收敛,从而也收敛.
当|u[n+1]/u[n]|收敛于c>1,级数一定发散.
因为此时|u[n]|从某项起单调递增,u[n]不收敛到0,级数发散.
对于幂级数∑a[n]·x^n,可以取定x=b,用上述比值判别法讨论x=b处的收敛性(数项级数).
(a[n+1]·b^(n+1))/(a[n]·b^n)=b·a[n+1]/a[n].
若|a[n+1]/a[n]|收敛到c,则上述比值的绝对值收敛到|b|c.
因此级数对|x|<1/c收敛,对|x|>1/c发散,收敛半径就是1/c.
对于这道题来说,可以用系数比值(n+1)!/n!→+∞得到收敛半径为0.
原理上就是对任意b≠0,|((n+1!·b^(n+1))/(n!·b^n)|=(n+1)|b|→+∞.
