《中华人民共和国大气污染防治法》第四十四条、第五十六条第四项 规定城市饮食服务业的经营者，必须采取措施，防治油烟对附近居民的居住环境造成污染。违者应由县级以上地方人民政府环境保护行政主管部门或者其他依法行使监督管理权的部门责令停止违法行为，限期改正，可以处五万元以下罚款。是否造成污染可以从是否安装油烟净化装置，以及油烟气排放是否达到《饮食业油烟排放标准》来判断，可见油烟气污染的主管部门应为环保部门。
同时，具体情况也要具体分析，如果该饭店根本就没有工商营业执照属于无证无照经营的，工商部门应该首先予以取缔，这样处理比较快，具体条款见《无照经营查处取缔办法》第四条。
根据以上两个法律、法规可见，如果是无证经营的，两个部门都应当受理该投诉，谁不受理就属行政不作为，参考《国务院信访条例》哪个部门不受理要求书面的不予受理文书，然后行政复议或诉讼均可。如果是有证的饭店则肯定是环保部门处理。
