another泛指（指三者或三者以上中的）另一个,既可作代词又可作形容词.做代词时如：I have finished this book,please give me another.做形容词：I will be back in another ten days.
other其他的,另外的,泛指另一个另一些.作定语时,常与可数名词复数连用,如But other creditors have refused the terms,但如果前面有the,some,any,each,every及形容词性物主代词时,可与可数名词单数连用,如every other day
the other可作代词也可作形容词,表（两者中的）另一个,常用于one..the other..的句型中,如she has two children,one is a boy,the other is a girl
从题目来看，翻译成中文：
这块蛋糕很好吃，我可以再来一块吗？
很明显another是最合适的，如果用other的话，piece必须用复数，得改成pieces.
而如果用the other的话，就不能用piece，得修改成the other one.
