(1+x)^1/x泰勒公式怎么展开

这个展开没有捷径，你只能逐个化简了。

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。

如果  在点x=x0具有任意阶导数，则幂级数称为  在点x0处的泰勒级数。

在泰勒公式中，取x0=0，得到的级数称为麦克劳林级数。函数  的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与  的麦克劳林级数一致。

注意：如果  的麦克劳林级数在点的某一邻域内收敛，它不一定收敛于f（x）。因此，如果f（x）在某处有各阶导数，则f（x）的麦克劳林级数虽然能算出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f（x）还需要进一步验证。

一些函数无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，仍然可以将其展开为一个级数。例如  ，就可以被展开为一个洛朗级数。

扩展资料：

对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数  ，当 x ≠ 0 且 f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数 f 仅在 x = 0 处为零。

而这个问题在复变函数内并不成立，因为当 z 沿虚轴趋于零时  并不趋于零。

一些函数无法被展开为泰勒级数是因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，  就可以被展开为一个洛朗级数。

基本原理：多项式的k重不可约因式是其微商的k-1重不可约因式；

基本思想：通过系数为微商的多项式来研究任意函数的性质（本科主要是收敛性)

参考资料：百度百科——泰勒级数