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（2013?江苏一模）某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O，半径为R（米）的球形灯泡．该灯架

2020-06-02 教育 98阅读
如图，

（1）延长EF与地面交于O1，由题意知：∠A1FO1=θ，且FO1＝
R
tanθ
，
从而EF=h-
R
tanθ
，A1F＝
R
sinθ
，
则y＝4θ?R?
a
3
+(h?
R
tanθ
+
4R
sinθ
)a，(θ∈(0，
π
2
))．
（2）y＝Ra(
4θ
3
+
4?cosθ
sinθ
)+ha，
设f(θ)＝
4θ
3
+
4?cosθ
sinθ
，
令f′(θ)＝
4
3
+
sin2θ?cosθ(4?cosθ)
sin2θ
=
4sin2θ+3?12cosθ
3sin2θ

=
(1?2cosθ)(7+2cosθ)
3sin2θ
＝0．
得：1-2cosθ=0，所以θ＝
π
3
．
当θ∈(0，
π
3
)时，f′（θ）＜0．
当θ∈(
π
3
，
π
2
)时，f′（θ）＞0．
设θ∈(θ0，
π
2
)，其中tanθ0＝
R
h
＜1，∴θ0＜
π
4
．
∴
π
3
∈(θ0，
π
2
)，∴θ＝
π
3
时，y最小．
答：当θ＝
π
3
时，灯架造价取得最小值．
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