尝试找一些比较小的模来看看是否能整除吧。
下面是通过计算器发现的一下规律。
n=1、2、3、4、5时，这个代数式分别能被13、3、5、3、13整除。
周期似乎是4，下面来验证一下。
首先，n=1时，代数式>3、5、13，并且这个代数式递增。
因而，无论n取任何正整数，均有，代数式>3、5、13。
①mod 3
19×8^n+17（mod 3）
≡1×(-1)^n-1
≡(-1)^n-1
容易看出，当n=4p和4p+2时，
(-1)^n-1
≡1-1
≡0
此时，是3的倍数，且>3，那么一定是合数。
②mod 5
19×8^n+17（mod 5）
≡(-1)×3^n+2
当n=4p+3时，
(-1)×3^n+2
≡(-1)×3^4p×3^4+2
≡-1×81×27+2
≡-1×1×2+2
≡0
此时，是5的倍数，且>5，那么一定是合数。
③mod 13
19×8^n+17（mod 13）
≡6×8^n+4
当n=4p+1时，
6×8^n+4
≡6×8^4p×8+2
≡6×64^2p×8+2
≡6×1^2p×8+2
≡48+2
≡52
≡0
此时，是13的倍数，且>13，那么一定是合数。
综上，无论n=4p、4p+1、4p+2、4p+3，均有：
【代数式能被3、5、13其中的某一个整除，且不是这三个数中任何一个。】
因而，一定不是素数。
【经济数学团队为你解答！】
