我是赞同背诵《道德经》能提高人的智商这种说法的。以下的回答是基于我学习《道德经》的过程中的一些体会，希望能对你有所帮助。
所谓道德经的背诵能提高人的智商，第一位的是取决于背诵的内容。
首先，由于道德经本身便是一本奇书，其中没有一个专名，言简意赅，辞朴意深。能以区区五千言讲述如此博大精深的思想，恐怕为古今中外所罕见。其次，道德经独特的语言表述方式、概念的模糊性、语词的多意性，都使得道德经一书内涵更加丰富。因此，如果要在理解的基础上背诵道德经，本身是对我们的一大挑战；就像一千个读者心中有一千个哈姆莱特一样，每个读老子的人对道的解释必然不同，道德经必将丰富我们的学识，深刻地影响我们的思维。由于道德经目前最古老的版本是郭店楚墓竹简本，其次是湖南长沙马王堆出土的甲本和乙本两本《老子》帛书，再次是由东汉时的《老子河上公章句》、三国时王弼的《老子注》和唐初的傅奕的《道德经古本篇》演变而来的世传本。要想真正懂一点道德经，恐怕对先秦的典籍和中国哲学、训诂和考古等都要有一定的了解，还要有一定的历史、政治、古典文学等方面的知识——而这亦是一个提高思维水平的过程。
第二位要点明的是背诵这种学习形式。让我们退一步而言，哪怕只是死记硬背，也能有助于我们的思维水平的提高。这种提高有可能是明显的，也有可能是潜移默化的。这是因为背诵本身就是一种学习，而且背诵必然能让人学习到哪怕一点点的东西，让知识在人的大脑中留下痕迹——只要学的东西是有意义的；而显然道德经并不是一堆罗列的数字，而是一篇有内在逻辑的古汉语文章。
本人上中学时就很能够死记硬背，可以完全不理解一篇文言文的内容而把它背得滚瓜烂熟，像道德经这么短的文章更是不在话下。然而我能够深刻感受到，死记硬背也是能学到很多东西的，特别是古汉语中有些词句和现代汉语差别不大，背诵的过程本身就是一个理解记忆的过程；更别说道德经中俯拾皆是朴实易懂的道理，比如“水善利万物而不争”、“圣人居无为之事，行不言之教”、“人法地，地法天，天法道，道法自然”、“以奇用兵，以无事取天下”等句子，虽然我当时背的时候并不去记它们是什么涵义，但我还没傻到看不出来其中蕴含有大道理的程度。很多东西背诵时未必理解，但只要还有印象，未来的某一天说不定你会一拍脑袋恍然大悟。
不知道你是怎么理解智商的，如果你把智商定义在通常所说的狭义的思维层面上，背道德经也是有助于提高智商的。所以第三位要说明的是：道德经中蕴含有辩证法思想。对辩证法这个东西，我现在也还有很多地方弄不清楚，也不好跟你说。但可以肯定的是，它是个很有用的东西；不理解、不懂得运用辩证法的人，往往嘲笑辩证法是一种虚无主义、相对主义的逻辑，是诡辩。那些人简直就像是睁眼瞎，忽视历史事实，否定我们几千年的中国传统文化的精华。辩证法对人的思维是有深刻影响的，能让人突破二元逻辑的局限，更全面的看问题；近代数学已经证明，在“是”和“否”为基础的二元逻辑之外，还存在着其他用“是”和“否”不能表达的东西。非欧几何以及测不准原理等的横空出世、二元逻辑支撑起来的近代哲学的终结、当代科学和哲学的发展，使得我们的思维必然要朝着并且已经朝着非二元逻辑的方向深刻发展——辩证逻辑、现代数理逻辑都属于非二元逻辑的范畴，都在当代社会有着广泛应用。背了道德经，便难免会受到一点（朴素的）辩证法的影响，这对人没有什么坏处。
最后想说明的是，道德经本来就是一门哲学，而哲学一词在古希腊语中就是“爱智慧”的意思，先贤们果然用语精妙——你说学习这门老子的哲学，你能不更聪明些、更有智慧些吗？
