结论：
您好！1.客服应该向客户申明因该录音未事先告知，本人回答不得被透露，否则侵权
2.客户有权对此进行录音，但是应该在录音前进行告知
3.该种情况如果涉及隐私及商业秘密，客服完全可以向公司申请对该客户提起侵权诉讼
法条参考：
《民法通则》第一百二十条 公民的姓名权、肖像权、名誉权、荣誉权受到侵害的，有权要求停止侵害，恢复名誉，消除影响，赔礼道歉，并可以要求赔偿损失。
《民法通则意见》第一百四十条 以书面、口头等形式宣场他人的隐私，或者捏造事实公然丑化他人人格，以及用侮辱、诽谤等方式损害他人名誉，造成一定影响的，应当认定为侵害公民名誉权的行为。
补充答案：
4.通话录音可以作为客户偷录客服谈话的证据
5.客服被辞退必须是基于劳动合同的规定，否则违法辞退可以向劳动局投诉，客服对于客户偷录行为不应有什么权利，应为客服是以公司的名义进行回答，代表的是公司，只有公司有权
