从你的表述来看，你朋友的父亲已经涉嫌故意伤害罪了，公安机关对其采取的强制措施完全是合法的。
是否构成故意伤害，主要证据是看被伤害者经鉴定是否构成轻伤以上，而不是住了多少天院，化了多少钱。在我国伤情分为重伤、轻伤和及轻微伤，重伤和轻伤就构成伤害罪，是要负刑事责任的；轻微伤则构成违反治安管理的行为，需要负治安行政责任。刑事案件的审批权限是县级以上公安机关，而非派出所；治安案件给予拘留或者伍佰元以上罚款，审批权限也是县级以上公安机关。本案中派出所所长是无权关押一个人到看守所的，更不要说几个星期。
根据《刑事诉讼法》规定，经县级以上公安机关负责人批准，对涉嫌刑事犯罪的嫌疑人是可以刑事拘留的，这不需要检察机关批准，这也不是法律意义上的逮捕，如果拘留羁押期满，经检察院批准，才能对犯罪嫌疑人执行逮捕。
所谓跨区逮捕，是你理解错了，实际是异地传唤，根据《公安机关办理刑事案件程序规定》，进行异地传唤时，须持《介绍信》、《警察证》及《传唤证》或《拘留证》，经当地公安机关配合，办案单位就可以实行异地传唤，这也不需要检察院批准。
如果你们还觉得公安机关处理不公，可以到办案的公安机关法制部门或检察院投诉，相信法律会保护你们的合法权益的。
