故宫里的五线菩提树通常在10月份开始成熟。具体来说，以下是其成长过程的几个关键阶段：
1. 生长期：一般从春季开始，到夏季结束。
2. 开花期：在夏季初期，五线菩提树会结出许多白色的小花。
3. 结果期：这个时候，小花就会慢慢变成小果实。到秋季，果实逐渐变大，表面也变成了黄色或红色。
4. 成熟期：果实完全成熟，可以采摘了，通常在10月份左右。此时，果实的尾端有一个小孔，是因为里面的种子已经掉出来了。
总的来说，故宫里的五线菩提是一个很美妙的观赏品种，其成熟期大概需要半年左右，而最佳的采摘时期就在秋季。
